なぜ 1 + 1 = 2 正しいと言えるのか？ 証明ではなく DIY で解説します【ずんだもん解説・ゆっくり解説】

[@咲咲-m3k]

17:30 これ使えば1+1を田んぼの田に出来るのか

[@yoshi46-319]

これだと個々の2や3という具体的な数は定義されていますが、自然数全体は未定義のように思えます。そのため、和の公理について「すべての自然数について」という語句をいれることができないのではないでしょうか。自然数全体を定義するのに無限公理やべき集合公理を用いるような方法は文献等でみたことはあります。

[@IDTYF-taman004]

無限公理ってなんですか？調べてもわかんなかったんですけど(←理解力乙)、ここで言う自然数の定義じゃだめなんてますか？数学的帰納法と関係ありますか？

[@yoshi46-319]

@@IDTYF-taman004 無限公理を直感的に説明すると「自然数全体を含むような無限集合が存在するよ」というものです。これの集合を元にして、自然数全体の集合を定義するのが、よくある手順でしょうか。この動画の定義だと、個々の自然数は定義できるのですが、自然数全体を定義できていないので「すべての自然数に対して m+n'=(m+n)’」を表現できないかと思います。ただし、加算の公理を無限個の公理の集まりである、つまり 「0+0'=(0+0)', 0+1'=(0+1)',...,1+0'=(1+0)',1+1'=(1+1)'....」という公理の集まりであるとするのであれば、動画の定義で問題ないかと思います。

[@IDTYF-taman004]

なるほど。解説ありがとうございます。
つまりこの動画は、自然数の集合がハッキリしないのに、全ての自然数というのに議論をしているのは不十分ということでしょうか。確かに、動画で出た空集合の公理や対の公理から無限要素を持つ集合を作るというのはできない気がします(←勘違いかも)。
無限公理というものを仮定しなければ自然数の集合は定義できないし、その上で「全ての自然数」という変数を渡る議論もできない、ということでしょうか。
その代わりに、曖昧な集合を用いずにハッキリとしている公理を使えば、自然数に加法も導入できるということでしょうか。
あと、文献と書いてありましたが、動画やあなたが言うような集合とかの理解を深めるには、やはりしっかりとした本を読まないといけないのでしょうか。自分はニュートンやRUclipsのこれ系の動画は見ているのですが、しっかり理解するにおすすめはありますか？
違っていたらごめんなさい。どうも、教えていただきありがとうございます。
(*´ω｀*)

[@user-zg1vh3wx8v]

恐らく、
｢nが自然数集合の要素である時、n⋃{n}も自然数集合の要素である｣
と言った旨の文言を入れれば良かったかも知れませんね。

[@IDTYF-taman004]

@@user-zg1vh3wx8v それだと自然数の集合があるよ〜ってところは解決してなくないですか？